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考虑局部裂纹失效的拓扑优化

来源:未知 编辑:admin 时间:2019-07-17

  1015 20 25 摘要:本文基于断裂力学分析和拓扑优化技术,研究了抑制结构局部断裂失效的设计方法。 考虑了线弹性材料的脆性断裂问题,采用有限元方法对结构进行分析。通过选取适当的断裂 指标与柔顺性一起加权作为优化目标,提出了在一定体积约束下最大化结构刚度同时最小化 结构对局部裂纹敏感性的优化列式,并通过伴随法进行了灵敏度分析。优化问题通过数学规 划法求解,数值算例验证了优化模型的正确性和算法的有效性。 关键词:计算固体力学;断裂失效;拓扑优化 中图分类号:TU318 TOPOLOGY OPTIMIZATION CONSIDERING LOCAL FRACTURE FAILURE LIU Pai, KANG Zhan (State Key Laboratory StructuralAnalysis IndustrialEquipment, Dalian University Technology)Abstract: paperincorporates fracture mechanics topologyoptimization structurewhich localarea. brittlerupture behavior materialwhich exhibits linear elastic constitutive relation crackedbody finiteelement method. suitableindicator fracturemechanics together synthesizedobjective, presentpaper proposes optimizationproblem localcracks simultaneously. sensitivityanalysis standardadjoint method optimizationproblem gradientbased mathematical programming approach. numericalexample verifies optimizationmodel algorithm.Key words: Computational Solid Mechanics; Fracture Failure; Topology Optimization 30 引言在工程实践中,由裂纹开裂导致的结构断裂失效通常会带来巨大的安全隐患和财产损 失。除裂纹的成因研究外,近年来相关的研究主要集中在含裂纹结构的处理方法上。一般来 讲,这些方法主要可以分为两大类:第一类是补片修补[1]或者钻孔[2]等后验的处理方法;另 35 40 一类则是在结构的设计阶段就将结构的断裂失效考虑在内的尺寸及形状优化设计方法[3-7]。 相对于经验化的方法而言,优化方法往往更合理有效,能够设计出本身就对某些局部裂纹不 敏感从而有效抑制裂纹开裂的结构。 在结构优化方法中,拓扑优化往往被认为是较尺寸优化及形状优化更高级更有效的优化 方法,本文就结合断裂力学分析及拓扑优化技术来研究能够抑制局部断裂失效发生的设计方 法。本文采用线弹性断裂力学分析模型及基于单元密度的拓扑优化方法,通过选取适当的断 裂力学指标并将其与结构的柔顺性一起加权作为优化目标,提出了在一定体积约束下最小化 基金项目:博士点基金(012) 作者简介:刘湃(1987-),男,在读博士,主要研究方向:断裂及流体相关的拓扑优化 通信联系人:亢战(1970-),男,教授,主要研究方向:结构优化、不确定性结构分析、计算力学-1- 结构对局部裂纹的敏感性并同时最大化结构刚度的优化列式。采用伴随法推导目标函数的灵敏度,并应用基于梯度的数学规划法更新设计变量求解优化问题。数值算例证明了该优化方 45 法的正确性和可行性。 线弹性断裂力学模型本文考虑线弹性材料的脆性断裂行为,这是线弹性断裂力学的主要研究内容。在线弹性 材料中,平衡方程及边界条件可以表示为 50表示柯西应力和应变关系的物理方程表示为 ijDijkl kl 由于我们只考虑均匀的各项同性的材料,张量Dijkl 是对称的并且只由两个独立的常数决 定。在小变形假设下,几何方程可以表示为 55在线弹性断裂力学中,由于裂纹尖端的应力场具有奇异性,即裂纹尖端附近的应力 时,应力趋于无穷大。为准确计算裂纹尖端的应力场,本文采用奇异性单元[8]进行计算。奇异性单 节点平面单元的边的中间节点向裂纹尖端移动四分之一边长的距离,这样该单元的形函数就能够在单元角点处模拟应力场的奇异性。奇异性单元的构造如下图所示: 60 裂纹尖端的奇异性单元Singularity element cracktip 65 其中节点 拓扑优化问题列式在对裂纹体进行有限元分析之后,可以基于裂纹尖端附近的位移场和应力场提出有效的 衡量裂纹开裂是否容易发生的断裂力学指标,这里表示为 。除该指标外,为确保优-2- min c1Rc2C c1Rc2C 其中c1 c2为两个常数权系数。 在拓扑优化方法中,为了能够采用连续化的数学方法来求解优化问题,通常将原始的 0-1 优化问题 75 进行处理,使得设计变量能够在 0,1 内连续取值,并惩罚中间密度使得该问题接近 原始的 0-1 优化问题。在做如上处理后,本文提出的既优化结构刚度又同时降低结构 对局部裂纹敏感性的优化问题的列式可以表示为: s.t.:aE allvVa 8085 其中,第一个约束表示平衡方程约束,第二个约束表示材料的体积约束,V0 表示整个设计 域的体积,V 灵敏度推导灵敏度分析是优化问题求解的关键,本文采用伴随法推导目标函数的灵敏度。首先设平 衡方程及力的边界条件的拉格朗日乘子为 ,体积约束的拉格朗日乘子为,则分部积分 后的增广拉格朗日泛函可以表示为: 90其中 其次,将式(7)对设计变量求导,得到如下方程: 其中,等号右边前两项为目标函数的灵敏度,第三项为拉格朗日乘子与体积约束灵敏度 95 的乘积。将由式(8)得到的伴随变量 带入上式,即可分别得到目标函数和体积约束对设计变量的灵敏度。 -3- 数值算例本小节以含裂纹的悬臂梁为例说明本文所提算法的有效性。问题的设计域及边界条件如 所示:100 悬臂梁设计问题示意图Fig. Schematicdiagram cantileverbeam design problem 105 110 其中,灰色区域为该拓扑优化问题的设计域,蓝色区域为非设计域。非设计域的作用是 保证裂纹尖端的位移场及应力场的分析不受结构拓扑变化的影响。假设的裂纹位置为悬 臂梁的上边界的中点处。优化目标为使结构对假设的裂纹不敏感(即:即使该处产生裂 纹,结构也不易发生开裂)同时最大化结构的刚度。对该含裂纹结构的分析基于有限元 法,采用八节点平面应力单元。材料的弹性模量和泊松比分别设为 0.3。结构的体积分数为 0.5。为了比较优化结果及验证本文所提算法的有效性,在本算例中还列出了 单纯以刚度为目标的含裂纹结构的拓扑优化结果,如下图所示: 拓扑优化结果。(A)以柔顺性为目标的优化结果;(B)本文方法的优化结果 Fig. Topologicalresults. Topologicalresult Topologicalresult obtained methodproposed presentpaper 由上图可见,当假设的裂纹处于悬臂梁上边界中点处时,应用本文所提方法计算得到的 120 125 拓扑结果与传统的最小柔顺性设计得到的结果有所不同。单纯以最小柔顺性为目标,拓 扑优化的过程中没有考虑到裂纹尖端附近的应力分布状况。而本文所采用的方法中,将 局部裂纹的断裂力学指标作为目标写进优化列式中,从而使得悬臂梁上半部分的拓扑结 果较传统最小柔顺性设计有所不同,这样的设计有效的改变了裂纹尖端附近的应力分 布,为了进一步验证这一点,本文计算了与图 两个拓扑优化结果相对应的第一主应力云图,如下图所示: -4- 拓扑优化结果的第一主应力云图。(A)以柔顺性为目标的优化结果的第一主应力云图;(B) 以本文方 法优化所得结构的第一主应力云图 Fig. majorprincipal stress plot optimaldesigns. majorprincipal stress plot topologicalresult obtained from minimumcompliance design problem. majorprincipal stress plot topologicalresult obtained methodproposed presentpaper 135 可见,以最小柔顺性为目标对含裂纹结构进行优化,裂纹尖端部位应力较大,而采用本文所提方法进行优化,在优化过程中考虑到了裂纹尖端的应力分布状况,故能得 到有效的传力路径来降低裂纹尖端应力,使得结构对该位置产生的裂纹不敏感。 为了进一步说明本文所提方法的有效性,表 列出了以两种优化方法的相应参数作为比较: 140 两种优化方法的参数及目标值比较Comparison twodesign methods Minimum compliance design proposedmethod c1 c2 0.2538.27 0.50.07 38.40 在上表中, c1 c2为目标的加权系数, 即本文所采用的衡量结构对裂纹敏感性的断145 150 155 裂力学指标, 表示结构的柔顺性。可见,与最小柔顺性设计相比,本文所提的方法明显地将结构对预设裂纹的敏感性降低了约四倍,而结构的柔顺性只是略微升高,故表 中所列目标值证明了本文所提方法的有效性。 结论本文基于线弹性断裂力学分析,提出了降低结构对局部裂纹的敏感性同时最大化结构刚 度的拓扑优化列式。在对裂纹体的分析中,本文采用了有限元方法和奇异性单元,来准确的 模拟裂纹尖端附近的应力场。通过采用适当的断裂力学指标和柔顺性一同加权作为优化目 标,达到了使局部裂纹失效不易发生且同时优化结构刚度的目的。通过伴随法推导了目标函 数的灵敏度,作为优化求解器的输入参数。算例的优化结果显示,本文所提出的方法能够有 效地降低结构中预设裂纹附近的应力水平,使得当裂纹真正产生时,结构对其不敏感,同时 又能够优化结构刚度,使结构更安全。 -5- [参考文献ernational Journal NumericalMethods Engineering,1975, 495-507.175 -6-

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